Gráfica de una función > Puntos de corte con los ejes

B

Se esboza la gráfica de f(x)=x⁴-6x⁴+5x+2

Se dice de f que es un polinomio, que su dominio es R y que no tiene asíntotas.

Se dice de f que corta al eje Y en (0, 2)

Se dice que el corte con el eje X(y=0): x⁴-6x²+5x+2=0. "Esta ecuación no se resuelve fácilmente, por lo que no es posible hallar con precisión los puntos de corte con el eje X."

No habiendo dicho nada más hasta ahí sobre esbozar la gráfica de esta función, ¿cómo saben que existen puntos de corte con el eje X, y que son más de uno?

(no es posible hallar con precisión los puntos de corte con el eje X, eso han dicho).

Matemáticas Bachillerato 1 SM

dkdvd

Es un polinomio de grado 4, debería tener 4 raíces sean reales o imaginarias

jmdw12

Se resuelve por tanteo mediante un algoritmo

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dkdvd

#3 por tanteo a lo bruto pero hay más métodos como Newton Raphson que es el que utilizan las calculadoras Casio con el solve

2 1 respuesta
jmdw12

#4 gracias. Ese es el algoritmo que decía pero no recordaba el nombre.

R

aplicas rapshon-newton (es facil solo hay que derivar), calculas la solucion entonces tendras algo de la forma
x⁴-6x²+5x+2=Polinomio*(x-x0), despejas (x-x0) haces la division y obtienes un nuevo polinomio esta vez de grado 3.
Vuelves a hacer lo mismo hasta llegar a un polinomio de grado 2 donde lo resuelves usando la formula y ya esta

JCab

Para encontrar los puntos de corte de la función con el eje X, podemos utilizar el método de la factorización o aplicar algún método numérico para aproximar las soluciones.

En este caso, como se menciona en el enunciado, la ecuación x⁴ - 6x² + 5x + 2 = 0 no se resuelve fácilmente, por lo que es necesario utilizar un método numérico para aproximar las soluciones.

Una posible estrategia es utilizar el método de Newton-Raphson, que es un método iterativo para encontrar raíces de una función. Este método consiste en aproximar la solución a partir de un valor inicial dado, y luego ir refinando la aproximación mediante iteraciones sucesivas.

Una posible elección para el valor inicial es x₀ = 1, ya que se puede observar que la función es negativa para valores de x menores a 1 y positiva para valores mayores a 1, lo que sugiere que el primer punto de corte debe estar cerca de ese valor.

El método de Newton-Raphson se aplica de la siguiente manera:

Primero, se calcula la derivada de la función f(x):
f'(x) = 4x³ - 12x + 5

Luego, se aplica la fórmula de iteración:
xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)

Se repite este proceso hasta que se alcance una precisión deseada. Por ejemplo, se puede fijar una tolerancia de 10⁻⁶ y detener las iteraciones cuando la diferencia entre dos valores sucesivos sea menor que esa cantidad.

Aplicando este método, se obtienen los siguientes valores aproximados para los puntos de corte:

x₁ ≈ -1.214
x₂ ≈ -0.372
x₃ ≈ 1.099
x₄ ≈ 2.487

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Rivendel

https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3Dx%E2%81%B4-6x%E2%81%B4%2B5x%2B2

R

#7 chatgpt funciona de culo con matemáticas. Llevo desde que salió probándolo y no hay manera que acierte

1 respuesta
B

"por lo que es necesario utilizar un método numérico para aproximar las soluciones."
Gracias, jCab

Glumyglu

Seguramente lo sepan porque los calculan, aunque, no sea de forma analítica.

Luego, con un poco de intuición para elegir los puntos, demostrar que tiene al menos una raíz real no es muy complicado usando el teorema de Bolzano:

f(0)=2>0, ahora necesitas encontrar un x tal que f(x)<0 para concluir que hay algún punto en el que f(x)=0. El término de x4 va a dominar a todos los demás y va a ser siempre positivo, por lo que sabes que tienes que probar con x cercanos a 0 donde x4 sea más pequeño que los demás términos, tienes el +2 dando por saco así que te interesa un x<0 para tener x negativo...

EDIT: De hecho, al ser un polinomio de grado 4 al demostrar que tiene una raíz real, en realidad, demuestras que tiene dos, a su vez, si demostrases que tiene tres raíces reales podrías concluir que sus cuatro raíces son reales (no lo intentes porque es falso, las otras dos raíces son números complejos). Esto es porque las raíces complejas van en pares.

EDIT2: Esto, por cierto, es una pregunta realista de selectividad (al menos en ciencias y en mi comunidad). Dada una ecuación que no puedes resolver de forma "fácil" demostrar, sin calculadora, que tiene una raíz y aproximarla.

JCab

#9 A ver si te crees que voy a peder más de 2 minutos en responder.

werty

¿cómo saben que existen puntos de corte con el eje X, y que son más de uno?

Porque la función es continua, no tiene asintotas y además la función pasa a ser negativa/positiva en valores x < 0.

x=0, f = 2
x = -1, f = -8 (luego entre -1 y 0 ya hay un corte)
y x=-3, f = 10 (otra vez positivo, otro corte en x)

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Rivendel

#13 pero tu has visto mi link? https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3Dx%E2%81%B4-6x%E2%81%B4%2B5x%2B2

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Sk8eR

Dado que el polinomio f(x) es de cuarto grado, se sabe que debe tener al menos una raíz real, y por lo tanto, al menos un punto de corte con el eje X. Además, como se indica que la ecuación x⁴-6x²+5x+2=0 no se puede resolver fácilmente, se infiere que la función tiene más de una raíz real. Por lo tanto, f(x) tiene más de un punto de corte con el eje X.

Además, como f(x) es un polinomio sin asíntotas, su gráfica se extiende por todo el plano, por lo que es posible que existan varios puntos de corte con el eje X, aunque no se pueda determinar su ubicación exacta. Por lo tanto, se puede concluir que f(x) tiene más de un punto de corte con el eje X.

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werty

#14 la ecuación es x⁴-6x²+5x+2 no x⁴-6x⁴+5x+2

y además qué más da el link, el caso es resolver la pregunta razonando, no con wolfram...

#15 por qué debe tener una real? por que no podrían ser 4 complejas?

1 1 respuesta
Sk8eR

#16 Tiene razón, me disculpo por mi respuesta anterior. Un polinomio de cuarto grado puede tener cuatro raíces complejas y no necesariamente una raíz real. Por lo tanto, no se puede asegurar que la función f(x) tenga puntos de corte con el eje X.

En resumen, es posible que f(x) no tenga puntos de corte con el eje X si todas sus raíces son complejas, pero no se puede determinar con certeza sin analizar más a fondo el polinomio.

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werty

#17 tío, deja de usar chatgpt que no funciona para estas cosas xddd (al menos la 3.5)

la solución ya está en #13

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