Hola!
Tengo la siguiente pregunta matematica:
Dado un objeto plano (no tridimensional), cual es la minima area de un papel rectangular que necesitamos para envolverlo completamente?
Una vez respondido esto, me gustaria tener un algoritmo para hacerlo. Creeis que podemos hacerlo aqui entre los 4 frikis de las matematicas que habra?
No podemos cortar el papel rectangular, solo plegarlo (y al plegarlo puede ser que pleguemos por encima de otro papel).
Vamos con un poco de definiciones para explicarme mejor.
Definicion 1:
Nuestro objeto es un n-gono (\mathcal{O}), definido por (n) vertices en el plano: ((v_1,\dots,v_n)) con (v_i = (v_i1,v_i2)). Lo tenemos centrado, de manera que
(\sum_{i=1}n (v_i1,v_i2) = (0,0))
No obstante, lo podemos girar, multiplicando estos vectores por una matriz de tipo
(\left(\begin{array}
&\cos\theta & \sin\theta \
-\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right))
Definicion 2:
Nuestro papel empieza siendo un rectangulo: ( \mathcal{P}_0=[-a,a]\times[-b,b] ) y su area es, evidentemente, (4ab).
Definicion 3:
Las operaciones que permitimos son giros del objeto y pliegues del papel. Un pliegue del papel se define por una recta:
( r: (x,y) = (x_0, y_0) + \lambda(u_1,u_2) )
Tal que no cruce el objeto. Una vez tenemos esa recta, definimos (\mathcal{O}r) como el conjunto de puntos de (\mathcal{P}i) que estan o bien a un lado o a otro de la recta y tienen interseccion no nula con el objeto (\mathcal{O}) y (r(\hat{\mathcal{O}r})) el reflejo especular por (r) de los otros puntos. Entonces (\mathcal{P}{i+1} = \mathcal{O}r \cup r(\hat{\mathcal{O}r}))
Definicion 4:
Decimos que (x\in\mathcal{O}) queda envuelto por el paso (i) si la recta (r) correspondiente al paso (i) cumple que (x\in r(\hat{\mathcal{O}_r})).
Decimos que (\mathcal{O}) queda envuelto por el paso (i) si (i) es el menor numero natural tal que (\forall x\in\mathcal{O}), (\exists j \leq i) tal que (x) queda envuelto por el paso (j).
Problema:
Queremos minimizar (a,b), nuestras variables son (a,b), (\theta) y las rectas que escogemos en cada paso.
Resultados hasta ahora:
Es evidente que (4ab \geq 2A(\mathcal{O})) (tenemos que tener al menos tanto papel como el doble del area del objeto).
.