Principio sobre la emergencia de regularidad (duda)

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TEG #1 Jun '18

Saludos.

Me gustaría pediros ayuda sobre una cuestión referente a la regularidad (entendida como iteración de una característica, periodicidad, ciclicidad, etc.) desde una perspectiva matemática.

La revisión de muy distintos casos de emergencia de regularidad, me ha llevado a la conclusión de que una regla general rige este tipo de procesos.
Imagino que debería tratarse de un principio matemático, cuyo enunciado sería algo parecido a:
“Todo proceso en el que intervienen exclusivamente relaciones regulares, producirá un resultado cuyas relaciones serán todas regulares.”

Presento algunos de los ejemplos ilustrativos que inducen a esta conclusión:

Series numéricas

Si tomamos varias series regulares cualesquiera y sumamos ordenadamente cada uno se sus componentes, la serie resultante presentará siempre regularidad.

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2...
1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3...

2, 4, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 4, 3, 3, 5…

Superposición de entramados regulares

Si superponemos dos o más entramados regulares, el patrón de superposición será siempre regular.

Bobinas

Si enrollamos una cuerda con un diseño regular, ordenadamente en una bobina o en cualquier otro modo que permita una disposición regular, el patrón general del diseño en el soporte, presentará siempre regularidad.

Pueden verse más experimentos inspirados en este fenómeno, en la página 21 del siguiente trabajo: https://www.dropbox.com/s/qm6vlikoa9pj42w/T.E.G..pdf?dl=0

Placas de Chladni

Si hacemos vibrar una placa metálica regular, a una frecuencia regular, y esparcimos sobre ella un granulado homogéneo, la distribución de este formará un patrón siempre regular.

Algunos procesos cíclicos en nuestro planeta

Por último, en nuestro planeta tienen lugar multitud de fenómenos cíclicos (duración del día y la noche, estaciones, mareas, etc.), cuya regularidad es consecuencia de la regularidad de la dinámica de nuestro sistema planetario.

Creo que se infiere lo siguiente:

Si la dinámica de nuestro planeta (velocidades de rotación, traslación, recorrido orbital, inclinación del eje, etc.) fuese distinta, podríamos pronosticar mediante cálculos más o menos complejos, el tiempo de exposición de las distintas zonas a la luz del sol, la fluctuación de la temperatura, las nuevas fases lunares, etc.; pero lo que podríamos aventurar sin necesidad de ningún cálculo es que, siempre que el patrón dinámico sea regular, estos ciclos presentarán regularidad. Así como que si la dinámica de nuestro planeta fuese irregular (se acelerase, detuviese y cambiase su sentido de rotación o su trayectoria de forma aleatoria), estos ciclos no serían tampoco regulares.
Podríamos también, sin necesidad de cálculos, afirmar que los patrones emergentes sobre las placas vibrantes (aún ignorando la geometría de tales patrones), serán regulares siempre que las placas presenten geometría regular, la frecuencia de vibración sea estable y el granulado homogéneo. O que, siempre que el diseño de una cuerda sea regular y lo sea también la forma en que disponemos la cuerda, el patrón emergente será regular, sean cuales sean los diseños o la disposición de esta.
Que, en definitiva, el resultado de cualquier proceso en el que los factores implicados presentan regularidad, será también, siempre, regular.

Respecto a esta afirmación, por evidente que resulte y por mucho que he buscado, no he conseguido encontrar literatura alguna.
Eso es lo que venía buscando y os planteo: Si conocéis algún principio matemático o teorema que recoja este hecho en su enunciado, o qué rama de las matemáticas se aproxima al menos a él porque, imagino, se trata de una cuestión matemática.

Un saludo y muchas gracias de antemano por vuestro tiempo.

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Ulmo #2 Jun '18 Moderador

#1TEG:
Así como que si la dinámica de nuestro planeta fuese irregular (se acelerase, detuviese y cambiase su sentido de rotación o su trayectoria de forma aleatoria), estos ciclos no serían tampoco regulares.

Me falta una definición más clara de lo que entendemos por regularidad pero creo que esta afirmación que haces no es cierta. Que algo sea generado por superposición de eventos no regulares no implica que el resultado no pueda ser regular.

A la inversa, superposición de eventos regulares genera un evento regular, creo que sí es correcto pese a faltarme una definición más clara de regularidad y muy posiblemente unos 10 años de conocimientos matemáticos

A ver si alguien más experto nos lo aclara, y en concreto me genera dudas el tema de dinámicas caóticas deterministas.

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TEG #3 Jun '18

No quería entrar tanto al detalle, pero como bien dices, un proceso en el que están involucradas relaciones irregulares puede dar lugar a la emergencia de regularidad:

1, 3, 6, 4, 4, 2, 8, 1, 2…
8, 6, 3, 5, 5, 7, 1, 8, 7…

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9...

Si lanzas al aire un puñado de piedras, es posible que alguna vez al caer formen una circunferencia. También es cierto (hablo de ello en mi trabajo) que la complejidad de las estructuras regulares resultantes de un proceso aleatorio, es inversamente proporcional a la probabilidad de que se den. Es decir, es difícil que tres piedras coincidan por azar con los vértices de un triángulo equilátero, pero es aún más difícil que veinte formen una circunferencia, o que un tornado pase por una chatarrería y construya un boeing 747.

También existen procesos en los que intervienen relaciones regulares e irregulares a un mismo tiempo, y entre ellos, algunos producen resultados con muchas irregularidades y otros producen resultados con muchas relaciones regulares… pero eso nos llevaría a un debate interminable. Por eso quería limitar el tema exclusivamente a procesos en los que todas las relaciones involucradas son regulares; si el resultado presentaría siempre relaciones regulares o no.

Por regularidad entiendo la presencia de una característica común en los elementos de un conjunto.

Un colaborador (para mí lo sois todos los que hacéis aportes constructivos) me indicaba que desde una perspectiva matemática, al menos, podría hablarse de periodicidad. Y que dos funciones periódicas suman siempre una función periódica. El inconveniente que veo a la elección del término periodicidad es que entiendo que implica infinitud.

Merka #4 Jun '18

Cuando hablas de regularidades, creo que es necesario diferenciar entre distintos tipos, por ejemplo:

Regularidades temporales, es decir, procesos cíclicos, o periodicidad temporal. En esta categoría entraría la dinámica de los planetas, el movimiento de un muelle o los ritmos circadianos. Todos estos procesos tienen en común lo que en teoría de sistemas se llaman feedbacks negativos. Estos feedbacks hacen que las variables del sistema (ya sea la velocidad del planeta, la posición del muelle o la producción de una proteína X), no crezcan indefinidamente sino que
frenen o incluso disminuyan a causa de otra variable que las controla. Un ejemplo para ilustrarlo, en un contexto biológico: imaginemos una proteína X que activa la producción de otra proteína Y, que a su vez causa la inhibición de la producción de la proteína X. Cuando Y es muy alto inhibe mucho a X y por lo tanto X no va a producir tanto Y, que no va a inhibir tanto a X, que a su vez aumentará, produciendo más Y, etc. Es decir, el sistema entra en un bucle temporal en el que las proteínas suben y bajan de manera regular. El mismo razonamiento se puede aplicar al muelle y a los planetas, con las variables posición y velocidad.
A nivel matemático, las oscilaciones temporales surgen cuando el sistema experimenta una bifurcación de Hopf:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation
Si te interesa aquí es un buen sitio para empezar.

Otro concepto relacionado con esto es la sincronización, en el que un conjunto de sistemas que oscilan van cambiando su frecuencia hasta llegar todos a una misma. Ejemplos incluyen la sincronización de las luciérnagas:
https://www.youtube.com/watch?v=ZGvtnE1Wy6U
O los relojes de Huygens:
https://www.youtube.com/watch?v=SGgbRkix_hY
Aquí el gran Steven Strogatz explicando de forma simple cómo ocurren éstos fenómenos:
https://www.youtube.com/watch?v=aSNrKS-sCE0
Los procesos de sincronización se han estudiado de forma exhaustiva matemáticamente, el ejemplo paradigmático siendo el modelo de Kuramoto: https://en.wikipedia.org/wiki/Kuramoto_model

Regularidades espaciales: en este caso las regularidades aparecen en forma de patrones espaciales. El ejemplo paradigmático son los patrones de Turing, en los que dos tipos de moléculas interaccionan de una determinada manera generando periodicidad espacial.
https://www.youtube.com/watch?v=MR79V9UmM6s
https://www.wired.com/2011/02/turing-patterns/
Otra referencia obligada es On Growth and Form de D'Arcy Thompson, dónde explica, junto a espectaculares dibujos, cómo éstas regularidades se pueden explicar de forma sencilla mediante simples ecuaciones.

Regularidades espacio-temporales: ésta categoría abarcarían las dos anteriores. En este caso la periodicidad es a la vez espacial y temporal. Un ejemplo paradigmático es el de la reacción de Belousov-Zhabotinsky: https://en.wikipedia.org/wiki/Belousov%E2%80%93Zhabotinsky_reaction

Todos estos conceptos y más vienen incluidos en los llamados sistemas auto-organizados, https://en.wikipedia.org/wiki/Self-organization, que se han convertido en las últimas décadas en uno de los paradigmas de la ciencia de la complejidad. La peculiaridad de este tipo de sistemas es que exhiben propiedades emergentes no reducibles a las propiedades de sus partes individuales.

La simetría también es un concepto importante en este contexto. Las ecuaciones que rigen las regularidades temporales son simétricas en el tiempo, mientras que los patrones son simétricos en el espacio. Los tipos particulares de simetría que tienen los sistemas se estudian generalmente usando teoría de grupos, por si quieres profundizar en el tema.

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TEG #5 Jun '18

Cuando hablas de regularidades, creo que es necesario diferenciar entre distintos tipos

— Merka

Pero Merka, ¿necesario, para qué? Es decir, si estamos hablando de un principio que rige de forma general las interacciones entre relaciones regulares, ¿para qué necesitamos diferenciar tipos?
Es como si estás investigando el mecanismo de la evolución biológica o simplemente la definición de ser vivo y yo te digo: “es necesario distinguir entre vegetales y animales, o vertebrados e invertebrados, o cada uno de los órdenes, grupos, familias, géneros…".
Es desde luego muy interesante y me encantaría exponer cómo, por qué y qué tipos diferencio yo, pero creo que lo primero es una definición de la regularidad como concepto general, como solicita Ulmo.

De hecho, me gustaría conocer vuestra interpretación de los términos regularidad, orden y organización, ya que sacas esos temas.

Por cierto, me alegra encontrar a alguien interesado y familiarizado con la teoría de sistemas, la auto-organización, la sincronización, etc. Me encantaría contrastar opiniones al respecto. Pero creo que lo primero son las definiciones.

1 respuesta

Merka #6 Jun '18

#5

Pero Merka, ¿necesario, para qué? Es decir, si estamos hablando de un principio que rige de forma general las interacciones entre relaciones regulares, ¿para qué necesitamos diferenciar tipos?

Mi punto es que los procesos que he expuesto tienen orígenes muy distintos. Si realmente quieres obviar su origen y lo único que te interesa son los estados macroscópicos digamos, pues supongo que el concepto que englobaría todos los procesos a los que tu defines como regulares es el de periodicidad (tanto en el espacio como en el tiempo), es decir, patrones que se repiten una y otra vez. Desde el punto de vista matemático, los sistemas periódicos se pueden entender mediante el análisis de Fourier, que se basa en descomponer las señales (oscilaciones temporales, patrones espaciales, etc) en una suma de funciones periódicas. Lo que se llama la transformada de Fourier te pasa una función cualquiera (por ejemplo un patrón espacial), a una función dónde viene manifestado espectro de frecuencias, es decir, qué tipo de periodicidad exhibe el patrón.

Pero ya te digo, bajo mi punto de vista me parece mucho más interesante el origen de tales patrones que no los patrones en sí, ya que funciones periódicas vas a encontrar hasta en la suela de los zapatos.

Es como si estás investigando el mecanismo de la evolución biológica o simplemente la definición de ser vivo y yo te digo: “es necesario distinguir entre vegetales y animales, o vertebrados e invertebrados, o cada uno de los órdenes, grupos, familias, géneros…".

Aquí sí existe un marco conceptual dónde englobar los seres vivos, y es el paradigma darwiniano de la evolución por selección natural. Por tanto en este caso que expones sí se tiene un origen común a partir del cuál se llega a todo lo demás, y las distinciones filogenéticas/taxonómicas están a un eslabón por debajo.

A ver si tengo tiempo uno de estos días para discutir en más detalle todos estos conceptos!

Millonet1 #7 Jun '18 Inocente

Tu noción de regularidad se puede entender también desde los sistemas dinámicos como regularidad respecto a condiciones iniciales, es decir, pequeños cambios en el estado inicial del sistema dan lugar a diferencias controlables en su evolución. Un ejemplo clásico es el péndulo simple, cuya posición y velocidad son totalmente predecibles conociendo las condiciones iniciales y aplicando las leyes de Newton. En cambio, el péndulo doble, que desde tu definición (algo ambigua) se podría considerar una composición de procesos regulares, tiene un comportamiento caótico a partir de cierto nivel de energía. Caótico aquí significa lo contrario a regular: ligerísimas variaciones en las condiciones iniciales dan lugar a dinámicas completamente distintas y a largo plazo impredecibles.
(Hay que hacer un pequeño matiz porque un sistema caótico puede ser determinista, es decir, puedes plantear las ecuaciones diferenciales que rigen su comportamiento pero muchas veces estas no se pueden resolver analíticamente y tienes que tirar de aproximaciones numéricas.)

Por poner otro ejemplo, el comportamiento del clima es de este estilo: aunque teóricamente regular (en el sentido de que puedes modelizarlo a traves de las ecuaciones de la mecánica de fluidos etc.) es extremadamente sensible a las condiciones iniciales y matemáticamente imposible hacer predicciones a largo plazo (dentro de dos meses lloverá en Barcelona?) con un mínimo de fiabilidad.

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TEG #8 Sep '18

Saludos (y perdón por el retraso).

Hay varios problemas en esta discusión con los que ya estoy familiarizado por otros debates.
El primero es que tendemos a hablar de casos específicos, y yo me refiero a reglas generales que rigen todos estos casos que mencionamos.
Y el segundo problema, consecuencia precisamente de lo multidisciplinario de la propuesta, es la escasez de rigor en las definiciones o, en otros casos, que las definiciones son particulares en cada uno de los campos, no siempre válidas en otros contextos.

Así, Strogaz habla de sincronización, Hayek de orden (espontáneo, social), la teoría de sistemas de organización, De Chardin de orden y organización indeferentemente, un cristalógrafo hablará también de orden y probablemente un físico mencionará la entropía negativa, y podemos también hablar de regularidad, periodicidad, iteración, etc.

Yo a Strogaz lo dejaría al margen porque el famoso experimento de los metrónomos “tiene trampa”. Al estar todos sobre una misma plataforma, que impide el desplazamiento individual, se “fuerza” la sincronización; del mismo modo que si colocamos un embudo en la boca de una garrafa cuadrada y vertemos de forma irregular agua sobre e embudo, esta se “ordenará”, tomando la forma regular del recipiente.
Ciertamente se trataría también de la emergencia de una estructura ordenada y, de hecho, está sujeta a las reglas generales de las que hablo, pero no es el ejemplo más interesante ni ilustrativo.

Antes de ir al grano, contextualizo mis opiniones, pues aunque en principio quería limitarme concretamente a ese principio sobre la emergencia de regularidad, vemos que el tema se despista a muy diversos contextos.

A mi lo que me interesa, es la emergencia de estructuras ordenadas u organizadas (enseguida defino ambas cosas).
Si a priori, cualquier estructura tiende a desorganizarse (a deshacerse, a romperse, a oxidarse o a pudrirse, para que nos entendamos), es evidente que a lo largo de la historia del Universo, se da una tendencia contraria, indiscutiblemente manifiesta en la formación de atómos y moléculas progresivamente más complejas, elementos que presentan orden a nivel geológico y astronómico, la emergencia de la vida y posteriormente estructuras sociales, etc.

En mi opinión, esta continua emergencia de estructuras ordenadas y organizadas progresivamente más complejas, es un proceso evolutivo, del que tales estructuras son el sujeto, como los seres vivos lo son en la evolución biológica.

El estado de la cuestión es tremendamente análogo al que enfrentó Darwin, pues se trata de un proceso que confirman multitud de evidencias (en el caso de la evolución biológica estas eran principalmente las similitudes anatómicas y el registro fósil), y tenemos pendiente comprender el mecanismo que lo provoca.

Ese es el punto de mi propuesta.

Dicho esto, y espero que aclarado el contexto en que planteo mis opiniones, ahora voy a las definiciones.
Estas, a ese nivel general, sencillamente no existen. Pero podemos probar a definir nosotros los conceptos elementales (orden, organización y complejidad) y comprobar si funcionan, y en mi opinión lo hacen.

Así, si llamamos orden a la presencia de una característica común a los elementos de un conjunto (partes de un objeto, piezas de un mecanismo, etapas de un proceso, etc.), tenemos que la periodicidad, la regularidad, (geométrica, como una simetría; dinámica, como el movimiento de la Tierra), la iteración, la sincronización o la organización, son casos de orden.

Podemos ver que la naturaleza ha producido estructuras con relaciones ordenadas progresivamente más complejas (a nivel atómico, molecular, astronómico, geológico, biológico, social...)

Si llamamos organización a la propiedad del conjunto de elementos implicados en una misma función, tenemos que la organización es un tipo de relación ordenada (pues los elementos componentes comparten la característica de estar implicados en una misma función), el caso de orden más complejo.
(los órganos del aparato digestivo, las piezas de un motor, los departamentos de una empresa, no presenta regularidad a nivel geométrico, o de sincronización, etc. La relación ordenada que presentan es la organización. la característica que comparten es la de estar implicados en una función concreta y conjunta.

Y aquí me paro porque no sé si habré atragantado a alguien… a ver cómo lo veis.

Respecto a lo que dices, Millonet1, en cuanto a los fenómenos meteorológicos, es evidente que se trata de procesos en los que intervienen relaciones irregulares (caóticas o desordenadas), como la geografía.

En el caso del doble péndulo, también existen relaciones irregulares implicadas en la dinámica del conjunto, aunque menos evidentes. Fijate que la dinámica caótica se da solo a partir de cierta energía. Ten en cuenta que la longitud, peso, posición inicial, ubicación de los centros de gravedad, etc. de los segmentos, no guardan ninguna relación de igualdad, simetría, paralelismo, etc., y estos son factores claramente implicados en la dinámica del sistema.

Me explico con un ejemplo más simple: si tenemos un cristal perfecto, regular pero, incluso a nivel atómico, y le lanzamos una piedra, aunque esta fuese un icosaedro perfectamente regular, el cristal se rompería en fragmentos irregulares.
Podemos decir que en este caso, en contra de lo que afirmo, dos estructuras regulares han interactuado, resultando de ello una estructura irregular.

Ahora bien, si el impacto se diese en el centro exacto del cristal, la rotura presentaría un patrón de simetría radial; o si no fuese en el centro exacto, pero al menos en el eje de simetría del cristal, la rotura sería simétrica.

Es decir, no solo las estructuras que intervienen en el proceso, sino también la forma en que lo hacen (localización del punto de impacto o dirección del proyectil, etc.), son factores implicados en el proceso y, por tanto, sus relaciones influirán en la regularidad o irregularidad del resultado (de la estructura emergente).

¿Me explico?

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TEG #9 Oct '18

Me permito adjuntar un interesante documental de la BBC referente a la emergencia de reglaridad, orden u organización que, a pesar de lo interesante, muestra la habitual tendencia a evitar definir estos términos en este tipo de investigaciones (de la que venía yo hablando).
Aquí se habla principalmente de emergencia de orden y patrones ordenados.

"La vida secreta del caos":

Me gustaría saber cómo definiríais vosotros el orden, desde las matemáticas (si se puede).

2 1 respuesta

polaritySYS #10 Oct '18

#9

Desde las matemáticas no me hago una idea como xD.

Gracias por el documental!!.

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TEG #11 Oct '18

Gracias a ti por "comental".
Yo tampoco. A estas alturas, después de exponer el tema en varios sitios... parece que no.
Lo más aproximado que he encontrado ha sido la afirmación de que la suma de dos funciones periódicas dará como resultado una función, siempre periódica.

Un saludo.

Principio sobre la emergencia de regularidad (duda)

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