No tiene nada que ver uno con otro. Cambian bastantes cosas de la version 6.0 de VB a la .net
Pero ten encuenta que visual estudio .net no abarca solo visual basic. Tambien abarca c++, asp, vb y alguna cosilla mas.
Para desarrollo web tienes asp .net pero hasta la fecha te recomiendo asp normal y corriente o bien php. Nunca con editores, siempre a palo seco.
Para VB 6.0 necesitas las llamadas rutinas o runtimes para que funcionen los programas hechos bajo este lenguaje y esto conlleva el solo poder ejecutarlo en windows.
El .net framework en cambio es multiplataforma. Tu puedes ejecutar un programa hecho con Visual Studio .net en Linux si este tiene el .net framework. Pero ten en cuenta que si ese programa utiliza las apis de windows, de poco te va a servir correrlo bajo linux, freebsd, o cualquier otro unix.
Segun creo actualmente los SPŽs (Service packs) de windows xp creo que vienen ya con el .net framework en su version mas simple. Aunke de esto no estoy muy seguro.
En cuanto a lo que deberias aprender, yo te recomendaria c++ que es la base de todo lenguaje de programacion. VB 6.0 es mucho mas sencillo pero da menos juego puesto que solo servira para windows. C++ abarca todos los sistemas operativos. De hecho linux hesta hecho en c++. Y la mayoria de los programas se hacen en C++ hoy en dia.
Siempre que quieras aprender a programar debes estudiarte bien un lenguaje, porque luego este te ayudara a conocer otros lenguajes. Si quieres aprender solo uno, opta por c++ y en cuanto a desarrollo web, php es lo mas parecido a c++ y asp lo mas parecido a VB.
En mi caso preferiria saber mas de un lenguaje. Saber cosas nunca estas de mas