Puedes hacerlo de varias maneras.
Nota: Tienes mal la matriz de f en las bases canónicas (tienes f(1+x) pero no f(1), ni f(x), ni f(x2))
Primero: diremos b11 = 1+x, b12 = x+x2, b13 = 1+x+x2 , etc. (lo mismo con C1, B2 y C2)
Tienes que f(b11) = (1,1,0,0) = b21
f(b12) = (1,1,1,1) = b22
f(b13) = (1,1,1,1) = b22
Así, tienes que
f(b11)=(1,0,0,0) expresado en la base B2.
f(b12) = (0,1,0,0) expresado en la base B2
f(b13) = (0,1,0,0) expresado en la base B2
la matriz es pues (1,0,0,0), (0,1,0,0) ,(0,1,0,0) por columnas, es decir si le entras un vector expresado en la base B1, te sale uno expresado en la base B2.
Otra manera es mirando primero la matriz en las bases canónicas y con el cambio de bases:
Mirando primero la canónica:
f(1) = f(1+x+x2) - f(x+x2) = (0,0,0,0)
f(x) = f(x+x2) - f(1+x+x2) + f(1+x) = (1,1,0,0) (también f(x) = f(1+x) - f(1)
f(x2) = f(1+x+x2) - f(1+x) = (0,0,1,1)
Esa es la matriz de la aplicación en la base canónica F_C: (0,0,0,0) , (1,1,0,0) , (0,0,1,1)
La matriz del cambio de bases de B1 a C1 es poner los vectores de B1 expresados en la base C1 en columnas:
BC1 = (1,1,0) , (0,1,1) , (1,1,1) en columnas (es decir si le entras 1(1+x) te saldrá 11 + 1*x )
La matriz del cambio de bases de C2 a B2 es poner los vectores de C2 en la base B2 en columnas. También es la inversa de la matriz del cambio de bases de B2 a C2, que no es más que poner los vectores de B2 expresados en C2 en columnas:
BC2 = (1,1,0,0) , (1,1,1,1) , (0,0,0,1) , (0,1,0,0) (supongo que es (0,1,0,0) )
CB2 = BC2 ^ (-1) = (1,0,0,-1) , (0,0,0,1) , (-1, 1, -1, 0) , (0,0,1,0) por columnas (comprueba los cálculos)
Ahora, la matriz en las bases B1 y B2 recibe un vector en base B1 y devuelve uno en la base B2, pero si los vectores están expresados en las bases C, se aplica la función... Así que F_B = CB2 * F_C * BC1
Haciendo los cálculos (hazlos tú), sale:
F_B = (1,0,0,0) , (0,1,0,0) , (0,1,0,0)
Lo mismo que nos había salido antes.