#12 a ver, repasemos:
En un elemento resistivo V = RI
En un elemento inductivo V = LdI/dt
Mallas (siempre me lío con los signos xDD):
La de arriba (antihorario)
Nota: Va - Vb = Vab = -R1(I1+I2)
Ve(t) - R1(I1+I2) = 0
La de abajo (horario)
-R1(I1+I2) + LdI2/dt + R2I2 = 0
Es decir LI2' + R2I2 = Ve(t)
Solucionamos la homogénea:
LI2' + R2I2 = 0
I2'/I2 = -R2/L
(ln I2)' = -R2/L
ln I2 = -R2t/L + C
I2 = K*exp(-tR2/L)
Ahora la particular: por el método de las constantes
I2 = K(t)exp(-tR2/L)
LK'exp(-tR2/L) = Ve(t)
K' = Ve(t)/L * exp(tR2/L)
K = integral de eso + c
Ahora Ve(t) es una función escalón que va de 0 a E en el instante 0.
Por tanto K(t) = c para t <=0
K(t) = E/R2exp(tR2/L) + c para t>0
Así que I2(t) = E/R2 + cexp(-tR2/L)
Con la condición de que I2(0) = 0 (porque estaba el interruptor apagado):
c = -E/R2 => I2(t) = E/R2(1-exp(-tR2/L))
Y por tanto Vc - Vd = +-LI2' (cuidado con el signo aquí, te dejo como ejercicio ver cuál es el correcto)
Vc-Vd = -+E*exp(-tR2/L)
En el caso de que abras el interruptor, la función Ve(t) es al revés, así que la integral K(t) queda de otra manera.
Intuitivamente, justo cuando cierras el interruptor la bobina es como un circuito abierto, así que la diferencia de potencial que habrá allí es exactamente la que introduce el generador.
De igual manera, cuando se ha llegado a régimen permanente y abres el interruptor, justo antes de ese momento la bobina es un cortocircuito, así que la diferencia de potencial es 0 (diría), al cambiar entonces la bobina hace como "de freno", generando una tensión opuesta.
Seguro que la he liado en algún cálculo pero la esencia es esta...
#13 esto sería más fácil de ver con algo que nos permitiera insertar LaTeX...
#12 ahora, con Laplace es más fácil:
La función escalón tiene de transformada 1/s , y la derivada I' (t) tiene como transformada sI(s) así que puedes escribir el circuito sin el interruptor, simplemente como un generador de tensión E/s y hacer los cálculos:
E/s - I2R2 - sI2L = 0
I2 = E/(s(R2+sL))
Vc-Vd = I2sL = E/(R2/L + s)
Antitransformamos:
vc-vd = E*exp(-R2/L * t)
