Dudas de ejercicios matematica discreta

B

1
la unidad monetaria de un pais es el otro y solo existen billetes de 18,20 y 45 oreos. ¿Es posible pagar una compra de solo 1 oreo?

En este yo diría que no ya que no existe ningun billete menor a 18 euros por lo que no podriamos aportar un oreo.
Pero me temo que el planteamiento sera con una ecuacion diofantica o asi

2

Demuestra qye si np -1 es primo entonces n=2

3

demuestra que si 2n +1 es primo , entonces n = 2m para algun m perteneciente a N (indicacion: usar el contrareciproco

de estos dos ultimos es que no tengo ni pajolera idea

lo unico que es es que para que n sea primo no debe ser divisible por ninguno de los divisores menores o iguales que su raiz pero nada mas

4

supongamos que a y b son enteros tales que a>b>0 y a=bq+r

a) demuestra que d es divisor comun de a y b si y solo si d es divisor comun de b y r
b) deduce que mcd(a,b)=mcd(b,r)

5

demuestra que si existen enteros s y t tales que as+bt =1 entonces mcd (a,b)=1

6 sean a y b enteros coprimos. demuestra que entonces "b" y "a+b*k" son coprimos para todo k perteneciente a Z

7 demuestra que si mcd (a,k)=1=mcd(a,b) entonces mcd(a,b*k) = 1

8

sean a y b enteros positivos cualesquiera. demuestra que mcd(a,b)mcm(a,b)= ab

todos esos son teoricos pero por mas que me aprendo los teoremas soy incapaz de aplicarlos. si alguien puede ayudarme se lo agradeceria mucho

9 halla un entero multiplo de 11 que deja un resto igual a 1 cuando se divide por cada uno de los siguientes enteros:2,3,5,7

en este planteo el siguiente sistema

lo unico es que no se si tengo que ver si es multiplo de 11 alguna de las 4 soluciones que me salen o directamente tengo que ver si es multiplo de 11 la solucion final (la que sale al sumar las otras 4)

y este otro por ultimo:

en la segunda imagen esta la solucion que yo creo que sale pero creo que me he equivocado en algun paso. si alguien puede decirmelo se lo agradezco

varuk

Así a bote pronto, he visto el Nº2:

Si es así: (np)-1 y no np-1, entonces es falso porque hay un contra ejemplo que demuestra que no es así:

(31) - 1 = 2

2 es primo y ahí n = 3, con lo que no cumple que para todo (np)-1 que es primo n sea 2.

1 respuesta
B

Hace mucho que no me hacen hacer cosas de estas, así que quizá la lió en algún sitio.

  1. gcd(18, 20, 45) = 1, así que si planteas 18a + 20b + 45c = 1 obtendrás una solución con a,b,c enteros. Interpreta los coeficientes negativos como el cambio que te devuelven.

  2. ni idea, se supone que p es primo? en caso de ser compuesto o 1 el enunciado de 2 es falso. Parecen propiedades de primos de Mersenne, yo miraría por ahí. Nunca se me dieron bien esa clase de problemas xD

  3. Lo mismo, ni idea.

  4. a Como d divide a a y b, entonces podemos reescribir a = dx y b = dy. Reescribimos la ecuación inicial y tenemos que dx = dyq + r, reordenamos y obtenemos d(x - yq) = r y, finalmente x - yq = r/d. Sabemos que x - yq es un entero, así que d ha de dividir a r para que esto se pueda cumplir. Con esto probamos un sentido de la implicación (si d divide a a y b, entonces divide a b y r). Para el otro sentido hacemos lo mismo : b = dx y r = dy, así que a = d(xq + y) y xq + y = a/d. Podemos aplicar el mismo razonamiento. Para el apartado b, como sabemos que un cierto d divide a a y b si y solo si tambien divide a b y r, también lo hará su máximo común divisor.

  5. Supongamos que existen enteros s y t tales que as+bt=1 pero que gcd(a,b) = d, con d!=1. Entonces a = dx, y b = dy, así que si reescribimos obtenemos dxs + dyt = 1, que se puede poner como d(xs + yt) = 1. La parte izquierda siempre será un múltiplo de d, y al tener d>1 podemos garantizar que nunca será 1. Si nos fijamos, x e y son coprimos (ya que es la parte no "englobable" en el máximo común divisor), así que si sustituimos d=1 obtenemos 1(xs + yt) = 1, con x e y coprimos. Por tanto, de existir esos s y t, podemos garantizar que a y b seran coprimos.

  6. Esto puedes probarlo como los anteriores, pero tambien puedes usar la propiedad gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) (lo que usa el algoritmo de Euclides, vaya).
    gcd(b, a+bk) = gcd(a+bk, b mod (a+bk)) = gcd(a+bk, b) = gcd(b, a+bk mod b) = gcd(b,a mod b) = gcd(a,b).
    De hecho, con esto pruebas algo mas general, y es que gcd(b, a+bk) = gcd(a,b). La propia propiedad es un poco tediosilla de probar, pero es factible (si es que lo necesitas).

  7. Esto es similar al anterior.

  8. Esto recuerdo que es una propiedad bastante de libro, de hecho creo que si pones ese enunciado en google te lo autocompleta. No me acuerdo de como se demuestra y tampoco quiero pensar mas, la verdad.

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B

Principio de inducción. No tengo ni idea pero lo suyo es demostrar si los enunciados son verdad o no, no encontrar un contraejemplo solo

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B

#4 No se supone que al encontrar un contraejemplo para un enunciado ya estás probando que es falso de manera satisfactoria?

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Fyn4r

#5 correcto

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Rudeboyx

0,67

B

#5 pues no creo porque supongo que te han enseñado herramientas para que lo demuestres como hay que hacerlo. Haz lo mismo que planteas como solución pero en vez de para un caso particular que sea general.
Es decir, que es fácil encontrar un contraejemplo pero en vez de decirlo para n=2 lo hagas para n si n es el conjunto de números naturales. Ya no es tan fácil hacerlo. Suerte

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B

#8 No entiendo lo que me quieres decir. Qué he hecho mal?

De todas formas, la construcción de un contraejemplo es un método totalmente válido para demostrar que un determinado enunciado es falso. En mi vida me han rechazado nunca una proof de ese tipo. Te refieres a encontrar una familia de enteros que toda ella sirva como contraejemplo para el segundo ejercicio? No entiendo por qué seria necesario. En todo caso lo que he puesto es que lo que se propone en el segundo problema es falso, aunque supongo que hay que asumir que la p es un primo, no lo se. Me parece más interesante demostrar las propiedades de 2) y 3).

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Fyn4r

#8 si quieres demostrar que algo es valido, necesitas hacerlo en todo su "universo", para demostrar lo contrario 1 ejemplo es más que suficiente.

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B

#9 #10 pues como dices demuestra primero las propiedades de 2) y 3) y si es verdad que cumplen las propiedades de los primos o el caso que sea, después usas un contraejemplo.
No digo que un contraejemplo no valga pero solo con eso no sirve, luego nos dices como los resolvieron en clase. S2

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B

#11 Sigo sin entender lo que dices, podrías probar tú esos dos enunciados como dices y así veo a lo que te refieres?

Fyn4r

#11 entiendo que si el enunciado pone "demuestra que" uno ya puede suponer que esa expresión será cierta, de forma que buscar un contraejemplo probablemente sea inútil (porque no lo hay xD) y la mejor forma de proceder es intentar demostrar la veracidad de la expresión. Lo que no entiendo es demostrar que algo es cierto y luego poner un contraejemplo

11 días después
B

#2 #3 #4 #6 infinitas gracias.
Aunque finalmente me lo prepare mirando simplemente los ejemplos y creo que no me ha salido muy mal del todo xD.
Creo que lo usare mas adelante en febrero si me queda esta parte.
Muchas gracias de verdad

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