Ecuación en diferencia finita (o progresión)

leonsegui #1 Ene '15 Penitente

Gente, siento molestaros con esta pamplina, pero para mi es vital poder contestar correctamente a esta pregunta si quiero aprobar la asignatura de Mates III.
Llevo todas las navidades dándole vueltas y no soy capaz de conseguir ninguna respuesta adecuada. De todos modos, hoy tengo concertada una tutoría con mi profesor, pero es sabido que éste me contestará lo que le salga de la polla y lo más probable es que por su famosa incompetencia en mi facultad lo haga mal, a sabiendas o no.

Así que sin más remedio me veo obligado a proponeros que intentéis ayudarme en la medida de lo posible, sin que esto parezca que me estáis haciendo todo el trabajo porque os aseguro que tengo folios y folios intentando por método deductivo solucionar el problema, que a priori, y desde el total desconocimiento antes de afrontarlo, parece fácil, y supongo, lo será:

Pregunta a resolver

Resa #2 Ene '15 Inocente

Yo creo que el apartado 1 lo tienes mal, porque en la suma de perimetros no sumas el perimetro del triangulo. Tu has puesto esto:

P1=8 ; P2=8+(raíz de 8) ; P3=12 ; P4=12+(raíz de 8), y así sucesivamente n veces

y (si lo entiendo bien) lo suyo es esto:
P1=8 ; P2=8+4+(raíz de 8)=12+raiz8 ; P3=P2+4+raiz8= 16+2raiz8 ; P4=P3+4+raiz8=20+3raiz8

con esto, la ecuacion general queda: P(n)=8+n*(4+raiz8). A no ser que los triangulos se conecten de algun manera en concreto al cuadrado, en cuyo caso habría que dejar de contar uno de los lados del triangulo, pero no has dicho nada por el estilo.

2 respuestas

B

[Borrado] #3 Ene '15

Como dice #2 no esta muy bien formulada la pregunta. Si no se enganchan es lo que dice el y ya esta.

Ahora suponiendo que se le a;ade de manera que se engancha un lado del triangulo a otro lado (es decir el de longitud 2 con el de longitud 2 y nunca hay dobles enganches), quedaria asi:

A(n+1) = A(n) + 2
P(n+1) = P(n) + sqrt(8)
Lo cual puedes resolver facilmente.

Suponiendo que el segundo triangulo se engancha por la diagonal te quedaria asi:

A(n+1) = A(n) + 2
P(2n+1) = P(2n) + sqrt(8)
P(2n) = P(2n-1) + 4 - sqrt(8) (le quitas la diagonal y le a;ades 2 lados)

Con lo cual,
P(2n+2) = P(2n) + sqrt(8) + 4 - sqrt(8) = P(2n) + 4
P(2n+3) = P(2n+1) + 4 - sqrt(8) + sqrt(8) = P(2n+1) + 4
O mas en general P(n+2) - P(n) = 4 , con las condiciones iniciales P(0) = 8, P(1) = 8 + sqrt(8)

Si sabes como resolverlo te lo dejo aqui, si no ma;ana acabo de responder.

1 respuesta

leonsegui #4 Ene '15 Penitente

#2 #3 Se agradecen mucho las respuestas. La verdad es que no he sido capaz de expresar el enunciado con claridad, ya que yo lo tengo dibujado y se observa que los triángulos se van añadiendo a la anterior figura formando un todo.

En primer lugar, en la suma de áreas me has puesto: A(n+1) = A(n) + 2 , que sería lo mismo que: A(n)=A(n-1) + 2, ¿no?. Ambas representan la progresión, solo que expresadas de distinta manera, ¿o es obligatorio partir de n+1?.

Por otro lado, habiendo aclarado el enunciado, y constatado con la solución de Duronman, en la suma de perímetros si estaría bien mi progresión:

8; 8+sqrt(8); 12; 12+sqrt(12) ...

Entonces has continuado diciendo esto:

"P(2n+1) = P(2n) + sqrt(8)
P(2n) = P(2n-1) + 4 - sqrt(8) (le quitas la diagonal y le a;ades 2 lados)"

Hasta ahí estamos de acuerdo, pero:

"Con lo cual,
P(2n+2) = P(2n) + sqrt(8) + 4 - sqrt(8) = P(2n) + 4
P(2n+3) = P(2n+1) + 4 - sqrt(8) + sqrt(8) = P(2n+1) + 4
O mas en general P(n+2) - P(n) = 4 , con las condiciones iniciales P(0) = 8, P(1) = 8 + sqrt(8)"

¿Ese paso responde a iteraciones para llegar a la ecuación general que se tiene que resolver?, es decir, ¿para convertir esas dos que has conseguido de 2n y 2n+1 en una sola y a partir de ahí llegar a la general?

Ciertamente, no es necesario para el examen que sepa resolver la suma de perímetros. El profesor aclaró que era algo opcional saberlo o no, pero ya que en su momento le di tantas vueltas me gustaría saber como se hace.

Gracias de nuevo a los dos.

1 respuesta

B

[Borrado] #5 Ene '15

#4

Claro que es lo mismo, n es una variable "sin significado", simplemente tu funcion es A(n) y decir
A(n+1) = A(n) + 2 es lo mismo que decir A(n) = A(n-1) + 2 o que A(n-1) = A(n-2) + 2
Ese paso es simplemente en lugar de restar P(n) - P(n-1) , pues restas P(n) - P(n-2) . Yo he hecho el paso intermedio para que veas que tanto si n es par como impar P(n) - P(n-2) = 4 (o sea, si, la ecuacion general), pero puedes comprobarlo como tu quieras. En general cuando estas intentando encontrar una expresion para una EDF es lo que se hace, probar primero x(n) - x(n-1), despues ordenes mayores (normalmente mirarias (x(n) - x(n-1)) - (x(n-1) - x(n-2)),i.e. la EDF de las diferencias aunque en este caso no te serviria) .

Una ecuacion en diferencias es cualquiera de la forma a0x(n) + a1x(n-1) + ... akx(n-k) = b0, en este caso P sigue una ecuacion de orden 2 en lugar de 1 (muy sencilla).

A lo mejor te estoy dando mas info de la que necesitas, no se en que contexto es la asignatura esta. Quedate con que si no encuentras una expresion de primer orden tienes que buscar una de segundo orden y asi sucesivamente.

Si quieres pongo lo que se hace en un caso general, aunque depende de como te va a liar mas que ayudar.

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leonsegui #6 Ene '15 Penitente

#5 Con lo que me has contado es suficiente. Ya no era tanto por el examen sino por querer saberlo personalmente, de hecho tengo el examen mañana y solo entran de primer orden (me lo aclaró el profesor el lunes), así que nada, muchas gracias.

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