No acabo de entender exactamente qué se tiene que demostrar. Me explico, esa afirmación es cierta pero no sé de qué manera se puede demostrar. Yo lo veo algo así como que venga alguien y me diga, demuestra que 2·2 son 4. Es un convenio, se definieron los números así y por tanto esa igualdad es cierta por definición.
La primera frase de #2 no es cierta. El caso de c=1 se puede dar con k=0, ya que 0 se acepta como entero positivo (por ejemplo se daría con a=0 y b=1). El caso de c=3 no se puede dar nunca puesto que no hay ningún número entero que cumpla "c" y a la vez dé 3. Lo mismo pasa con el 7, el 11 etc... de ahí que haya un 4 multiplicando la k.
A ver, los números impares se acostumbran a definir siempre como a=2k+1, donde "k" es un número entero positivo, incluyendo el 0. Esto, como he comentado antes es por definición puesto que es una manera de "generar" todos los números impares ya que, por su naturaleza, viene implícito que se vayan alternando pares e impares. De ahí el "+1", puesto que cualquier número multiplicado por 2 será par, también por la definición de estos.
Es decir, este problema sería lo mismo que uno de "generar" números impares pero al tener dos números involucrados, puesto que c=a2+b2, en vez de un 2 multiplicando, aparece un 4.
Para obtener un número "c" impar hace falta que a2 sea par y b2 impar (o viceversa, lo cual no es importante) ya que la suma de dos pares o de dos impares siempre da un número par (repito otra vez, por tal y como se define un número par). Esto implica que uno debe ser par y el otro impar.
Siento meterte este tocho y no poder ayudar, puesto que no te he resuelto nada xD. Simplemente quería decir que no sé exactamente cuál es la intención del profesor al preguntar eso. Quizás quiera una explicación como la que he dado yo, pero esto de demostración matemática tiene -3.
