¿Resolver ecuacion con sumatorio y potencia?

Eso no es una progresión geométrica? sum j=0..15 (a^j) , sí. Prueba a multiplicar a cada lado de la ecuación por (1/(1+i) - 1) y te quedara algo así
8(-1+1/(1+i))=1/(1+i)¹⁶ - 1/(1+i) de ahí -8=1/(1+i)¹⁶ -9/(1+i)
, de ahí puedes multiplicar por (1+i)¹⁶ a los dos lados, con lo que
8(1+i)^16=-1+9(1+i)¹⁵
y aquí ya poca cosa más puedes hacer creo yo.

EDIT : o también puedes hacer 1/(1+i) = a, 8 = sum{j=1}^{15} (a^j) = a·sum{j=0}^{14}(a^j), lo cual con la fórmula directa de la progresión geométrica te queda
8=a·(a^15-1)/(a-1)
que es lo mismo que antes pero a lo mejor te resulta más fácil calcular a que i, deshaciendo el cambio queda 8=(-1+(1+i)¹⁵)/(i·(1+i)¹⁵)

#4 el ¹⁶ sale de multiplicar 1/(i+1) por cada término del sumatorio, es la manera en que se resuelve la progresión geométrica. Multiplicas por el término general, y le restas el mismo sumatorio quedándote así sólo el término de mayor orden con un orden más y el término de menor orden. No puedes hacer logaritmos porque la suma de logaritmos no es logaritmo de la suma, no te habría servido de nada. Y un problema es fácil sólo cuando ya sabes su solución.
Saludos!

Esa serie tiene su resultado analítico, sustituye la serie por su expresión y despeja xD, no tiene más.

Que por cierto, si inviertes en una ecuación, has de hacerlo con todo.

1/8 = 1 / sumatorio , y no 1/8 = sumatorio (1/términos).

Pues Ruffini no es mala idea, directamente de lo que he dicho yo de la serie geométrica se puede intentar a¹⁶ - 9a + 8 = 0 Si a fuera entero , probando con +-1, +-2, +-4 y +-8 ya estaría. EDIT: me parece que la solución a=1 no vale, porque estarías dividiendo por 0 en algun momento.

Pasando a la integral ? en todo caso eso te dará un resultado aproximado... que yo sepa, pasar a la integral se hace para decidir si una serie infinita converge o no, me equivoco? Pero bueno, si te sale pasando a la integral ya nos dirás cómo lo has hecho xD. Edit: Lo de los logaritmos como ya he dicho antes tendrás problemas porque el logaritmo de la suma no es suma de logaritmos. En todo caso te puede quedar 16log(a)=log(9a-8) , puedes intentar algo pero...

Partiendo de la ecuación de #3:

8=(-1+(1+i)¹⁵)/(i·(1+i)¹⁵)

Creo que lo mejor es aislar "i" y calcular iterativamente. Para eso no hace falta matlab ni calculadora programable, con una casio que no sea de la guerra civil debería bastar. Es posible que no tenga resultado analítico, por lo que intentar resolverlo elegantemente puede significar tirar mucho tiempo. Por tanto yo haría:

8i(1+i)^15+1-(1+i)¹⁵⁼⁰

(8i-1)(1+i)¹⁵⁺¹⁼⁰

Se despeja la "i" que multiplica al 8 para empezar a iterar:

i=((-1/(1+i)¹⁵)+1)/8

A partir de ahí supones una "i" inicial con la que iniciar la convergencia, por ejemplo i=1 (En principio no importa el número, pero cuanto más lejos estés del resultado real, más tardará en converger).

Para hacer esto con una calculadora normal hay que escribir 1 y pulsar el igual, de forma que en la opción "Ans" queda guardado el 1, para iniciar el cálculo. Después es cuestión de escribir en la línea de arriba la operación anterior, sustituyendo "i" por "Ans", es decir:

((-1/(1+Ans)¹⁵)+1)/8

Y simplemente ve apretando la tecla igual. La calculadora sola irá cogiendo el último resultado para usarlo en cada iteración. Sólo hay que esperar a que los numeritos no cambien con respecto el anterior, lo que indicará que ha convergido. En este caso hay que hacer como mucho 22 iteraciones (el resultado es aproximadamente 0.0912829652).

Nota: Este método de aislar la "i" para hacer converger el resultado no siempre funciona, hay veces que, por el tipo de ecuación, diverge. Entonces hay que usar otros métodos.

Sé que parece un poco chapuzas, pero el hecho que te den tablas hace sospechar que probablemente no hay solución analítica, con lo que alguien se ha dedicado a calcular numéricamente estos valores y los ha recogido en una tabla. Por tanto no creo que te digan nada por hacer esto. Si sabes usar las tablas, bien, si no puedes hacer esto o, en caso que te sobre tiempo, puedes usar ambos métodos para asegurarte.