La Ip privada de una LAN es un rango de ips que no están en Internet y se usa para hacer redes privadas por ejemplo:
192.168.0.1 --> esa podría ser la privada del router
192.168.0.2 --> el primer equipo de la red
192.168.0.3 --> el segundo equipo de la red
192.168.0.x --> los equipos que necesites hasta 255
Todos esos equipos deben de salir a internet a través de la ip privada del router, poniendo en el default gateway o puerta de enlace la ip 192.168.0.1
Todo esto para una mascara de subred 255.255.255.0 la mascara es la que te dice la cantidad de subredes que puedes crear, en este caso puedes meter 255 ekipos en tu red.
La IP Publica es la IP que tienes en Internet es indiferente de las ips locales. Puedes saberla por ejemplo yendo a www.whatismyip.com
Espero que lo tengas más claro