Estoy estudiando un ciclo de informática y este problema que me describes lo hemos hecho hace no demasiado xD.
Lo que necesitas es un dispositivo que te deja poner internet en tu línea eléctrica. Sí, sin coñas, es un pequeño aparatito que conectas en dos lugares de la casa (Entrada y salida) que proporciona conexión a Internet al diferencial al que se encuentra conectado.
Creo que estos dispositivos se llaman PLC, y según nos contó el profesor, suelen estar a un precio de 70-80€ la unidad, aunque puede que los encuentres más baratos. Los he probado en clase y funcionan bien, creo que son la mejor opción para tu problema, sin necesidad de hacer una instalación de cableado en tu casa.
#6 Los RJ45 de categoría normal presentan ruidos y distorsiones a longitudes mayores de 100 metros, y bueno, no sé cuanta distancia tendrá que recorrer el cable de nuestro hamijo, pero 100 metros te los comes en un momento, además de que es súper cansino tener un cable así por la casa. Un categoría 8 alcanza hasta 150m, pero sigo viendo más cómodo el sistema del PLC para este caso.
Si lo quiere hacer por cable, siempre puede utilizar un cable coaxial thinnet, que tienen un alcance bastante grande.