A ver si vamos a ir en el mismo vuelo y todo (creo recordar que eres de Torrelavega xDDD), que yo tambien estare por alli la primera semana de julio.
El parque de atracciones al que te refieres es el Tibidabo, pero vamos que ya que estais alli, porque no vais a Port Aventura?
Sitios para visitar te recomendaria Montjuic (tienes en poco espacio muchas cosas que ver como las torres de Plaza España, los jardines de Montjuic que de noche es espectacular, el Museo, el Estadio Olimpico, Palau Sant Jordi). Despues pues ya lo mitico como la Sagrada Familia, las ramblas, Plaza Cataluña, la Catedral de Barcelona, la fuente de Canaletas y el MareMagnum (donde esta Colon)... Quitando la Sagrada Familia las ultimas cosas que te he dicho estan relativamente cerca, vamos que puedes ir andando perfectamente. Bueno y si quieres pues el Museo de Cera, que esta en la rambla cataluña si no me equivoco, bajando de Plaza Cataluña hacia Colon.
Eso es mas o menos lo que yo te recomiendo desde fuera (aunque he pasado bastante tiempo en Barcelona), ahora ya si eres del Barça pues que no se te olvide pasarte por el Camp Nou y todo su recinto deportivo.
Un saludo