Dudas simples de matemáticas

#426 Que este acotada o no la funcion no dice nada sobre la continuidad, tienes que estudiar el dominio de la funcion, mas concretamente el de cada trozo y hacer la interseccion de estos. Si la interseccion es R, tu funcion es continua en todo R, si lo es en R - {un punto} tienes una discontinuidad(que puede ser evitable o no) y si el dominio solo incluye uno o varios intervalos NO es continua.

#430 Es imposible responder si no pones también la definición del espacio L2 que utilizais. Es esto a lo que te refieres?

#432

Entonces basta con ver que la función f esta acotada, con \( |f(x)|\leq 3\), por lo que \( \|T(g)\|=\|fg\|=\left( \int_S (fg)^2\right) ^{1/2} \leq \left( \int_S (3g)^2\right) ^{1/2}=3\left( \int_S g^2\right) ^{1/2} =3\|g\|\) y por lo tanto el operador es acotado y en consecuencia continuo.

#434 Si solo quieres saber si es continua no necesitas dividir en intervalos, te basta con saber que f esta acotada en todo su dominio. En la integral quedaría 9 pero el resultado esta elevado a 1/2, por lo que queda 3. La desigualdad \( \|T(g)\| \leq 3\|g\| \) dice que el operador esta acotado, pero no te dice la norma. La norma es el valor maximo que \( \frac{\|T(g)\|}{\|g\|} \) Puede alcanzar, pero en este caso por ejemplo si tomas \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) como \(g(x)=1 \)para \( x \in [0, 1 ] \) y \( g(x)=0 \) en el resto del dominio entonces te queda \( \frac{\|T(g)\|}{\|g\|} =3\), y como ya sabes que la norma es menor o igual que 3 tienes que la norma del operador es 3.

#436 No. Ahí no estoy muy seguro de lo que intentas calcular, pero parece que es la norma de f. De todas formas la norma de f sería \( \|f\|=\left( \int_{-\infty}^{+\infty} |f|² \right)^{1/2}=\left( \int_{-\infty}^{0} 0 +\int_{0}^{1} 9 +\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \right)^{1/2}=\left( 0 + 9 + 1 \right)^{{1/2}=\sqrt{10}} \).

Si lo que quieres es calcular la norma del operador, entonces calcular la norma de \( f\) no te sirve de nada, lo que tienes que estudiar es el cambio en la norma que provoca el operador: como cambia la norma de un elemento al aplicarle el operador. En este caso el operador lo que hace es multiplicar por f, y como f esta acotado por 3, como he puesto antes tenemos \( \|T(g)\| \leq 3\|g\| \) . Esto significa que la norma de la imagen de un elemento es como maximo tres por la norma del elemento, por lo que la norma del operador es menor o igual a 3. Además, como en el caso de la función g que he puesto en el post anterior la norma de la imagen de g es exactamente tres por la norma de g, la norma del operador tiene que ser mínimo tres. Por lo tanto, la norma es 3.

Recuerda que la definición de la norma de un operador en \(L²(\mathbb{R})\) es (puede que hayais dado una diferente pero suele ser equivalente a esta) \( \sup_{g \in L²(\mathbb{R})} \frac{\|T(g)\|}{\|g\| }\).

#438 Sí, lo de que \(|f(x)| \leq 3 \) lo saco de que es 3 entre 0 y 1, y \( 1/x \leq 1 \forall x\geq 1 \). Sobre la función que pones, a mí metiendolo en una calculadora de integrales me da que la norma es \(\sqrt{3\pi}\), pero aún así calcular la norma de una función concreta no sirve de mucho para calcular la norma de un operador. Si quieres calcular la norma de una función a trozos tienes que calcular las integrales del cuadrado de la función en los diferentes intervalos, y despues tomar la raíz cuadrada de la suma de los resultados.

#439 creia que la norma de la funcion hacia falta pa la continuidad del operador. Pero solo hace falta la cota no?

#440 es horrible esta parte de las matematicas pero demasiao importante

#442 y con el núcleo que hago? Osea se que Tv=0 y resuelvo un sistema para calcularlo pero ahí. ...
fgv=0 ker (t)=0?
Eso no tiene ningún sentido xd

esto es troll, no?

x+y=72
x-y=60
where x=salts weight; y=can weight

x=66
y=6

ademas aprendes ingles