Ecuaciones diferenciales 301

Hola gente,

Nuestro estimado forero hda y un servidor nos hemos decidido a abrir un hilo de ecuaciones diferenciales. El hilo estará en construcción para siempre, y habrá ejercicios así como teoría y aplicaciones. Este hilo pretende ser poco más que una introducción a un campo tan vasto como son las Ecuaciones Diferenciales (ED, para abreviar), y hablar de las que aparecen con más frecuencia en el mundo de la física así como de los resultados matemáticos que hay y por qué importan.

Estructura del hilo

Yo haré la parte aburrida de la teoría, y luego colaboraré con hda para hablar de aplicaciones interesantes y quizás poner ejemplos y problemas.

• En #1 encontraréis una breve introducción a las ecuaciones en general que nos servirá para entender cómo estudiamos las ecuaciones diferenciales

  ¿Qué es una ecuación?

Para entender qué son y cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales, primero hay que entender qué es una ecuación.

Desde pequeños aprendemos a resolver ecuaciones:

\( 3x = 2 \)

\( \{\begin{align}
2x & + 3y &= 2\\
x & - y & = 0
\end{align} \)

\( x² - 2x + 1 = 0 \)

Fijaos que podemos pensar en las siguientes funciones:
\( f(x) = 3x \)

\( g(x,y) = \left( \begin{array}{c} 2x + 3y \\ x-y \end{array} \right) \)

\( h(x) = x² - 2x + 1 \)

Y entonces las ecuaciones no son más que:

\( f(x) = 2 \)
\( g(x,y) = (2,0) \)
\( h(x) = 0 \)

En general una ecuación no es más que esto: tenemos una función \(f(x)\) y dada una constante \(c\) queremos saber para qué \(x \) tenemos \(f(x) = c\)

¿Qué determina una ecuación?

La ecuación esta determinada por la función \(f\) y la constante \(c\). ¡Pero esto es demasiado genérico! Intentemos ser más detallistas. Una función no es más que una "regla" de asignación entre elementos de un espacio \( \mathcal{X} \) y elementos de otro espacio \( \mathcal{Y} \). ¡Entender esto es fundamental para entender las ecuaciones diferenciales! Veamos un ejemplo:

La función \( f(x,y,z) = x³ + y³ - z³ \) la podemos considerar como una función que lleva elementos de \( \mathbb{R}³ \) a \( \mathbb{R} \), o como una función que lleva elementos de \( \mathbb{Z}³ \) a \( \mathbb{Z} \). En el primer caso, la ecuación
\( f(x,y,z) = 0 \) tiene infinitas soluciones en \( \mathbb{R}³ \), mientras que, en el segundo caso, ahora sabemos (Gracias al teorema de Fermat/Wiles) que la ecuación \( f(x,y,z) = 0 \) no tiene ninguna solución. Si os interesan las ecuaciones (no diferenciales) donde las incógnitas no son números reales sino enteros o racionales, podéis empezar por aquí.

Cuando las incógnitas son funciones...

El siguiente paso, y ya nos acercamos mucho a las ED, es pensar qué pasa cuando las incógnitas son funciones en sí mismas. Un ejemplo (que todos los participantes en olimpiadas de matemáticas habrán visto y odiado) son las llamadas ecuaciones funcionales. ¿Existe alguna función \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que cumpla:

\( f(x²) = f(x) \) para toda \(x \in \mathbb{R}\)?

¡Esto también se puede escribir como hemos dicho antes! En este caso tenemos una función que va de \( \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) a \( \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) ( \(\mathcal{F}(X,Y) \) lo definimos como el espacio de todas las funciones que van de \(X\) a \(Y\)):

\( T(f) (x) = f(x²) - f(x) \) o, lo que es lo mismo, si \( \circ \) es la composición de funciones y \( s(x) = x² \), entonces

\( T(f) = f\circ s - f \)

De nuevo el espacio de soluciones importa: Si admitimos cualquier función (no continuas incluidas) entonces hay infinitas soluciones (Muy infinitas y mucho infinitas). Si solo aceptamos funciones continuas \( \mathcal{C}⁰ (\mathbb{R}) \) entonces solo valen las constantes (Creo, no lo he demostrado rigurosamente).

Último paso, añadir derivadas

Ahora lo que todos estabais esperando: ¡Derivadas!

Supongamos que tenemos una ecuación sencillita y típica:
\( f' (x) = 3f(x) \)

donde queremos que las soluciones sean al menos una vez derivables ( \( \mathcal{C}¹(\mathbb{R}) \) ) .

Volviendo a nuestra notación, y si \( D \) es la función que va de \( \mathcal{C}¹(\mathbb{R}) \) a \( \mathcal{C}⁰(\mathbb{R}) \) con \(Df = f' \), tenemos que nuestra ecuación es:
\( Tf = 0 \) con \(T = D - 3\text{Id}\)

Esta ecuación tiene infinitas soluciones, como ya sabréis: \( f(x) = ke^{3x} \). No obstante si en lugar de considerar \( T \) en \( \mathcal{C}¹ \) lo consideramos en el subconjunto de ese espacio tal que \( f(0) = 1 \) entonces solo tiene una solución. Como vemos, ¡el espacio donde buscamos la solución importa!

Pasos para resolver una ecuación

1. Saber si existe solución a la ecuación. Si en el espacio que estamos no existe solución a nuestra ecuación tenemos un problema. Es esencial saber si teóricamente puede existir una solución, pues de otro modo a lo mejor hacemos simulaciones numéricas y nos da algo, pero ese algo realmente no tiene ningún sentido físico (ni matemático). Hay varios casos a tener en cuenta, pero simplificaré y sólo hablaré de 2:
   • La solución no existe en el espacio donde miramos, y no hay manera de acercarnos. Este caso sería el de \( x² + 1 = 0 \) en los reales. Poco podemos hacer aquí para resolver la ecuación, si no es cambiar nuestro dominio totalmente e ir a los complejos. Esto daría para un tema nuevo porque se puede mirar desde el punto de vista algebraico o topológico (los reales no son densos en los complejos)
   • La solución no existe en el espacio donde miramos, pero nos podemos acercar tanto como queramos. Este caso sería el de \( x² - 2 = 0 \) en los racionales. Podemos ir cogiendo números que se aproximen a la solución exacta tanto como queramos: \( {1,1.4,1.42,\dots} \). Esto pasa porque los racionales son densos en los reales. Esto lo aprovechamos mucho cuando buscamos soluciones numéricas (elementos finitos) a una ecuación diferencial: Miramos sólo soluciones de tipo polinomios, y vamos cogiendo polinomios que se aproximen más y más a la solución real.
2. Saber si la solución es única. Una vez sepamos que existe una solución a la ecuación, necesitamos saber si dicha solución es única. Si no es única, quizás sólo una de las soluciones tiene sentido físico y por tanto debemos quizás restringir nuestro espacio de búsqueda. A nivel numérico también es esencial saber si la solución es única o no porque, si no lo es, entonces cualquier método numérico (O casi cualquiera) va a converger a una combinación lineal de las soluciones (Y eso no siempre tiene por qué ser una solución).
3. Conocer las propiedades de la solución. Quizás no podemos escribir la solución perfectamente sobre un papel, pero podemos saber cosas: ¿Es mayor que 0? ¿Es una función continua, derivable, integrable? ¡Quizás buscamos la solución en un espacio muy grande (\( L² \)) pero realmente la solución está en un subespacio de este, más pequeño!

Los diferencialitos

Los diferencialitos son una serie de personajes de ficción creados por hda en clases de matemática diferencial (¡de sus favoritas!), variados y divertidos, quienes le ayudaban a arrancar el duende matemático que tenía dentro, cuando terminado el café de media mañana, asimilaba los conceptos que los profesores daban.

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