¿Tiene que darse una propiedad en concreto para que ocurra?
No, es una propiedad intrínseca del espacio-tiempo relativista. Sólo tiene que darse una diferencia en velocidad relativa entre dos observadores en el caso de la relatividad especial, o una diferencia en distancia respecto a una masa importante con influencia gravitatoria, en el caso de la relatividad general.
Simplificando, la dilatación del tiempo es consecuencia y resultado de la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos de referencia. En términos mas entendibles, cuando uno de los marcos esta sufriendo una aceleración y en relación a otro que no la sufre y esta en reposo.
Respecto al ejemplo del haz de luz en el espejo: el haz de luz no sufre dilación alguna desde su punto de vista, ya que la luz ni siquiera sabe lo que es el tiempo, ni tampoco lo sufre o experimenta. Para ella si pudiese experimentar su propio marco de referencia, toda su vida es un mismo instante, el tiempo es 0.
Para un observador externo, dependería de si este se moviendo perpendicularmente relativamente al haz. Peeeero como ya he comentado la luz ya va al máximo de velocidad permitido y precisamente esta velocidad es una constante independientemente del marco de referencia usado, realmente es irrelevante en el ejemplo usado.
Es que no sé si la distancia recorrida influye en algo.
Si y no. Relativamente y ahí esta la gracia. Pero no es tanto la distancia en si, sino el intervalo consecuencia de la distancia y tiempo percibido por un observador en movimiento respecto al marco de referencia en reposo. Es complicado de explicar sin diagramas y ecuaciones. Quédate con que no tanto.
No es tanto así en relatividad, pero por usar otro punto de vista, en teoría de campos no-relativista, es precisamente la distancia lo que influye en la dilatación del tiempo. Por esta, todo esta constituido por campos y estos campos se propagan a velocidades concretas definidas por las ecuaciones de campo. Para un objeto en movimiento que se aleja, la distancia que tiene que recorrer esta propagación para llegar al objeto en cuestión es mayor, y como resultado de esto las cosas pasan "mas despacio".