#90 error al escribir, mea culpa.
#92 no veas! xD no pero tiene razón hay que ser riguroso!
Para que no quede esto muerto dejo uno facilito y me voy!
Cuál es el último dígito de 32013 ?
Como no estaré aquí dejo la solución en spoiler, no hagáis trampas :/
15 min fácil pensando en historias para ver que podría ser y menuda "tontería" al final xddddd
buenísimo xD
7 días después
Veo esto muy muerto!! Venga un problemilla:
El demonio cita a Gauss y a Euler y les dice:
He pensado dos números enteros, distintos entre sí, mayores que 1 y que suman menos que 100.
A Gauss le diré el producto (P) de estos números, y a Euler la suma (S). Tenéis que adivinar los números.
Una vez los tienen, se reúnen entre ellos y la conversación es como sigue:
Gauss: No sé cuáles son los números.
Euler: Eso ya lo tenía claro.
Gauss: Ahora ya los sé.
Euler: Ahora yo también.
¿Cuáles son estos números?
#101 7 y 5
#103 son 7 y 5 no me engañes la g es la 7 letra del abecedario y la e la quinta, luego tiene que ser esos
#102 nop, piensa que si fuera 7 y 5 (Pista que dejo) Gauss lo sabría al principio, ya que el producto sería 35 que sólo se puede descomponer como 7 y 5 (son primos). Es decir, Gauss no podría decir "no sé cuáles son los números" (suponemos que no miente ninguno de los dos claro).
#102 xD te aseguro que este problema se resuelve con matemáticas y no hay ningún truco 
.
#104 Dice que mayores que 1, 1 no valdría.
Edito: Bueno, el producto debe de ser de más de 2 números primos. Obviamente para la suma hay muchas posibilidades.
Por ahí voy xD.
#105 unamos nuestras mentes,que tienes?xD
a ver,
x*y=p
x+y=S
x,y>1
s<100
x!=y
un valor de s puede ser el 5 no? para x=2 y=3
Veamos, voy a dar una pista. El amigo Zerokk me ha dicho 6 y 31 y voy a decir por qué no.
Gauss tendría 631 = 186. Dudaría entre 631, 362 y 293, por tanto s=37, s=65 o s=95.
Si s=37
Gauss diría "no sé los números", Euler sospecharía (35,2), (34,3), (33,4), (32,5), (31,6), (30,7), (29,8), (28,9), (27,10), (26,11), (25,12), (24,13), (23,14), (22,15), (21,16), (20,17), (19,18)
Pero Euler sabría que
Si fuera (35,2), Gauss dudaría entre (35,2), (5,14), (7,10)
Si fuera (34,3), Gauss dudaría entre (34,3),(17,6),(2,51)
Si fuera (33,4), Gauss dudaría entre (33,4),(11,12),(44,3),(22,6),(66,2)
Si fuera (32,5), Gauss dudaría entre (32,5),(16,10),(8,20),(4,40),(2,80)
Si fuera (31,6), Gauss dudaría entre (31,6),(93,2),(62,3)
Si fuera (30,7), Gauss dudaría entre (30,7),(6,35),(3,70),s[/s],(70,3),etc.
El tema es que efectivamente, Euler diría: Ya sabía que no los sabrías, porque en todas las posibles sumas puede tener varias posibilidades de productos Gauss.
En el caso de que fuera 3*62 más de lo mismo:
Gauss diría "no sé los números", y Euler tendría s=65 que podría dudar entre todas las sumas que no voy a escribir. La cosa es que 65 es 61+4 y Euler sabe que si fuera 61 + 4 Gauss lo sabría (ya que (122,2) suma más de 100). Euler no podría decir "ya sabía que no los sabrías" si la suma fuera 65, porque Euler sabía que cabía la posibilidad de que Gauss los supiera.
En el caso de que fuera s=95 , una de las posibilidades es (89,6), pero entonces Gauss de nuevo la sabría así que Euler tampoco habría podido decir "ya sabía que no lo sabrías".
Es decir, Gauss sabría que la suma era 37 y diría "ya sé los números".
Hasta aquí bien, pero, Euler podría decir después "ahora yo también"?
Euler probaría para todas las combinaciones de sumas que he puesto arriba y vería cuál de esas combinaciones permitiría a Gauss descartar en 3 pasos todas sus posibles sumas menos una.
Pero veamos, Euler ve que si fuera (31,6) lo descartaría, ok, una posibilidad.
Miremos por ejemplo (35,2). Es p=70 y no sabemos si es (35,2),(14,5) o (10,7)
Si fuera (14,5) la suma sería 19 = 2+17, por tanto descartada al decir "ya sabía que no los sabrías". 17 en cambio no se expresa como suma de primos, así que no descartada. (35,2) no puede ser.
Miremos (34,3). P=102 y dudaríamos (34,3),(17,6),(2,51). 17+6 = 23 = 21 + 2, descartada. 2+51 = 53 , haciendo razonamientos similares esta tampoco estaría descartada. No puede ser (34,3).
Miremos (33,4). P = 122, dudaríamos (33,4),(11,12),(44,3),(22,6),(66,2), 11+12 = 23 = 21+2, descartada. 44+3=47, no es suma de primos y no se puede descartar. No puede ser (33,4).
Miremos (32,5). P=160, dudaríamos (32,5),(16,10),(8,20),(4,40),(2,80). 16+10=26 = 23+3, descartada. 8+20 = 28 = 23+5, descartada. 4+40=44= 41+3, descartada. 2+80=82= 79+3, descartada. Si fuera (32,5) también habríamos descartado todas menos 32,5 si fuesemos Gauss.
Por tanto Euler no podría decir "ahora yo también los sé", dudaría al menos entre (32,5) y (31,6).
Nota: Es una maravilla este problema, gracias conjetura de Goldbach!!
Pongo un resumen de por qué (31,6) no puede ser aquí cortito para que veáis el procedimiento:
Gauss duda, y dice "no sé los números".
Euler sabe que con cualquiera de sus sumas Gauss dudaría, así que dice "ya sabía que dudarías".
Gauss descarta las posibles sumas que a Euler no le permitirían decir "ya sabía que dudarías" y solo le queda una posibilidad, dice "ya sé los números".
Euler hace el razonamiento que haría Gauss con sus sumas y ve que hay dos que no puede descartar, por tanto NO puede decir "ahora yo también".
Ya está resuelto 
, no es tan difícil, echadle un poco de lógica y sacaréis muchas pistas, suficientes como para resolverlo. No hacen falta tantos tochacos matemáticos, ya veréis xD. Creedme, no tengo ni pajolera de mates.
Suerte! Espero con ansia el siguiente, aunque creo que no tendré tanta suerte xD.
#117 Quieres que postee mi explicación a la solución?
#112 porque si es un número que se puede expresar como suma de dos primos ya no podría decir "ya sabía que no lo sabrías", puesto que cabría la posibilidad de que Gauss tuviera el producto de esos primos (descompone de manera única). Euler tendría que decir entonces "había la posibilidad de que lo supieras".
#114 demostrar que la solución es única es muy laborioso.
La parte buena es que puedes hacer un algoritmo que te encuentre la solución, como has hecho tú descartando opciones.
Encontrar la solución probando a dedo es factible.
El hecho de que Gauss no sepa los números implica que uno de los dos números no puede ser primo y que al menos hay dos maneras de dividir el producto en dos factores tales que la suma sea menor que 100.
El hecho de que Euler ya lo supiera implica que la suma no puede ser suma de números primos. Esto excluye a todos los números pares como posible valor de la suma (conjetura de Goldbach, comprobada hasta 100 y más allá) y todos los que son de la forma número primo + 2.
El hecho de que Gauss lo descubra entonces implica que las otras sumas posibles quedaban descartadas, así que Euler tiene que probar para todos los posibles productos que salen de todas sus posibles sumas cuál (o cuáles) quedan descartados. Este es el paso más delicado.
Edit: Acabo de hacer el programita en MATLAB para ver que es única y efectivamente lo es.
Comentario: Hay 86 números entre 2 y 100 que no valen como posibles sumas cuando sabemos que Gauss ha dicho que no lo sabe y Euler que ya lo sabía. Son:
Edit2: Dicho de otra manera, Gauss sabría los números si hubiese una única manera de descomponerlo en dos factores que sumaran menos de 100.
Es un poco guarro pero funciona y da la solución única correcta. Si hay dudas sobre lo que hace cada for las respondo. #111 claro, postea
Vale, procedo entonces a explicar el resultado del problema de #101:
No sé si es una explicación 100% correcta, pero según Duronman se acerca bastante y lo explica lo suficientemente bien, así que supongo que llega.
#117 Está un poco ajustada y "pasada a limpio" así a lo rápido, espero no haberme dejado nada.
#118 en efecto no es correcto el razonamiento del todo pero la intuición la tienes y el resultado es correcto. ¿Quieres poner uno tú? Pero no pongas tus mensajes encriptados cachoperro xD
Veamos el razonamiento correcto completo (sigo el algoritmo que he puesto en #117):
Miro todos los posibles productos (PPosibles) de números 1 < x < y < x+y < 100. Cuento de cuántas maneras se puede llegar a un mismo producto. El producto que tiene Gauss estará entre estos.
Pero Gauss dice que no sabe cuáles son los números, así que de todos los productos posibles descarto aquellos a los que se puede llegar sólo de una manera (PPosibles1 = 1). Es decir, descarto todos los xy con 1 < x < y < x+y < 100 tales que no haya x',y' con 1 < x'+y' < 100 y x'y' = x*y. Euler dice que él tampoco sabe los números y además que ya sabía que Gauss no los sabría. Es decir descartamos todas las sumas correspondientes a los productos anteriores. Descartamos 86 posibles sumas!!
Nos quedan como sumas válidas: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53
Ahora bien, de todas estas sumas, de todas las maneras que hay de llegar a estas sumas (por ejemplo para 11: (2,9),(3,8),(4,7),(5,6)) miramos los productos, si hay más de una manera de llegar a esos productos, no los descartamos (si hubiese solo una manera, los descartaríamos porque Gauss ha dicho al principio que no sabe los números). Contamos de cuántas maneras hay de llegar a esos productos desde una de las posibles combinaciones que den una de las posibles sumas. Por ejemplo 42=314=221, y 3+14 = 17 y 2+21=23, es decir una de las sumas que dan 17 da de resultado al multiplicar 42 y una de las sumas que da 23 también.
Como Gauss dice que ya ha sacado los números esto significa que el producto no será ninguno al que se pueda llegar de más de una manera. Ahora tenemos que mirar, dentro de las posibles sumas cuál de ellas se puede descomponer en dos números que dan un producto al que solo se pueda llegar de una manera así. Y contar cuántas veces aparece tal suma.
Como Euler ha dicho que él también ha sacado los números eso significa que tenemos que quedarnos con una suma que sólo aparezca una vez. Qué bien! Únicamente existe una suma así, y es s=17. Desandando lo andado, sólamente 4 y 13 multiplicados se habrían descartado con los tres primeros pasos y por tanto p=52.
Q.E.D.
