#14 Sí puedes
Experto en matematicas no se, pero en ortografia macho... Si no has escrito 40 veces equacion en vez de ecuacion...
#1: A tu primera pregunta, eso es una tontería. Si una ecuación es CL de las demás no nos sirve para nada por lo tanto estarías eliminando una de ellas que podría no ser CL por una que lo es seguro, no tiene lógica.
Además, sí, con esas tres ecuaciones puedes sumar-restarle a cualquiera una CL de las demás.
#1 Las propiedades de los determinantes las deberias tener grabadas a fuego en la frente:
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html
Si se puede si las ecuaciones son linealmente independientes (o era dependientes??? T.T) xD
edito:
Dependiente era cuando conseguias que una columna o fila fuese todo 0, por lo cual era fila o columna resultaba ser dependiente...
asi que si quieres librarte de alguna ecuacion supongo que tendras que conseguir que la matriz (determinante) sea dependiente 
#37 Es al reves solo si son linealmente dependientes, si son independientes entre la hipoteca, el coche y los niños no creo que tenga tiempo ni para resolverse...
#1 NO SE PUEDE HACER LO QUE PLANTEAS
Lo que SÍ se puede hacer es sustituir por ejemplo B, por una combinación líneal de A y B.
Por ejemplo:
(A) x+y+z=10
(
2x+y+4z=25
(C) 4x+6y+z+66
En ese sistema puedes sustituir ( por:
y/2 - z = -5/2
ke es el resultado de dividir ( por -2 y a continuación sumarle (A), con lo cual has eliminado la x de ( utilizando la x de (A) como pivote... Luego ya sólo te queda hacer lo mismo con (C), y luego utilizar el mismo proceso para eliminar la y de (C), utilizando la y de ( como pivote.
Supongo que tu profesor es mejor profesor de lo que seamos cualkiera en media-vida, no entiendo por qué prestas más atención akí que en clase... ESPABILA.
SOLUCION CLARA:
No me apetece leerme todas las respuestas así que te lo contesto bien aquí:
Sí A, B y C son independientes (y suponemos que necesarias para solucionar el problema, es decir, tienen 3 incógnitas) al hacer una combinación de A y B aparecerá una ecuación que no aporta información al problema y habría una incógnita que no se podría resolver. En este caso que sería el normal, no te serviría la nueva ecuación.
En caso de que C fuese linealmente dependiente de A, B o de ambas, la ecuación nueva tmb lo sería y el resultado sería el mismo, pero en este caso C no aporta ninguna información al problema y se puede eliminar directamente igual que la nueva ecuación.
Si nos explicas a santo de que viene tu duda te contestaré más claramente.
Y a lo de #14 se puede, aunque sea una chorrada.
por ejemplo, tenemos X+Y=19
un clara equación dependiente sería 10X+10Y=190, y si las restamos quedaría:
9X+9Y=171
ESTAS TRES ECUACIONES SERIAN EQUIVALENTES, pero por poder se puede, aunque no ayuda a resolver un sistema de ecuaciones.
