La fuente de alimentación, aunque fuese una de 10€ (nueva, no me vale una de 10€ y 10 años) te aguanta el arranque de cualquier PC. Otra cosa es que se reiniciase al ejecutar algún juego o algún programa exigente.
Si hay "corriente" y no arranca, es fallo en el boot. Podría ser también que el propio peso de algún componente hubiese hecho que la placa se doblase en el transporte y haber sufrido una microfisura o similar.
Yo me envié mi PC desde Oxford a Madrid y no tuve ningún problema (de hecho es el PC desde donde estoy escribiendo esto).